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année 2003-2004
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TD4 - Visualisation et navigation (2)


    Le TP précédent nous a permis de visualiser une surface simple de la forme z= F(x, y), nous allons maintenant nous interesser à des surfaces plus générales : des surfaces paramétrées bicubiques, générées par 4 polynomes de degrés 3. Les courbes de Béziers et les carreaux associés en sont un bon exemple.


Partie 1. Polynômes et Courbe de Bézier

    De manière générale, un polynôme cubique s'écrit sous cette forme :
x(t)= axt3 + bxt2 + cxt + dx

y(t)= ayt3 + byt2 + cyt + dy

z(t)= azt3 + bzt2 + czt + dz         avec 0 <= t <= 1
    Il est en général plus pratique d'utiliser une forme matricielle :
Q(t)= [x(t)  y(t)  z(t)]= T . C    avec T= [t3  t2  t  1].

    Une courbe de Bézier peut être facilement décrite par 4 points de contôle P1, P2, P3, P4.  Il est aussi possible d'exprimer directement Q(t) en fonction des points de contrôle et de faire apparaître l'interpolation réalisée (polynômes de Bernstein) :
Q(t)= (1-t)3 P1 + 3t(1-t)2 P2 + 3t2(1-t) P3 + t3 P4

    Q1. spécifier 4 points de contrôle et tracer la courbe de Bézier associée en échantillonnant régulièrement t.

    remarque : il est aussi possible d'utiliser une subdivision récursive beaucoup plus précise (construction de de Casteljau).

Partie 2. Surfaces et Carreau de Bézier

    En utilisant certaines propriétés des courbes de Béziers et une interpolation, il est relativement facile de construire une surface Q(s, t) reposant sur 4 polynômes cubiques Gi(t) :
Q(s, t)= S . M . G(t)    avec S= [s3  s2  s  1]  et  G(t)= [G1(t)  G2(t)  G3(t)  G4(t)]T.
    Q1. spécifier 4 courbes de contrôle et tracer la surface de bézier. L'interpolation peut se réaliser de plusieurs manières (Coons ou produit tensoriel, cf. cours).

    remarque : la  subdivision récursive est également possible.

 

Partie 3. Affichage d'une surface

    L'affichage "fil de fer" du dernier TD étant relativement pauvre,  vous pouvez utilisez les fonctionnalités d'openGL pour associer une matière à votre surface et spécifier également une source de lumière. Le rendu de la forme de la surface et de son relief devrait être de bien meilleure qualité, il ne manque plus que les ombres ...