MIM Images
année 2003-2004
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TD4 - Visualisation et navigation (2)
Le TP précédent nous a permis de visualiser
une surface simple de la forme z= F(x, y), nous allons maintenant nous interesser
à des surfaces plus générales : des surfaces paramétrées
bicubiques, générées par 4 polynomes de degrés
3. Les courbes de Béziers et les carreaux associés en sont
un bon exemple.
Partie 1. Polynômes et Courbe de Bézier
De manière générale, un polynôme
cubique s'écrit sous cette forme :
x(t)= axt3 + bxt2
+ cxt + dx
y(t)= ayt3 + byt2 + cyt
+ dy
z(t)= azt3 + bzt2 + czt
+ dz avec 0 <= t <=
1
Il est en général plus pratique d'utiliser
une forme matricielle :
Q(t)= [x(t) y(t) z(t)]= T . C
avec T= [t3 t2 t 1].
Une courbe de Bézier peut être facilement
décrite par 4 points de contôle P1, P2, P3, P4. Il est
aussi possible d'exprimer directement Q(t) en fonction des points de contrôle
et de faire apparaître l'interpolation réalisée (polynômes
de Bernstein) :
Q(t)= (1-t)3 P1 + 3t(1-t)2 P2 + 3t2(1-t)
P3 + t3 P4
Q1. spécifier 4 points de contrôle et tracer
la courbe de Bézier associée en échantillonnant régulièrement
t.
remarque : il est aussi possible d'utiliser
une subdivision récursive beaucoup plus précise (construction
de de Casteljau).
Partie 2. Surfaces et Carreau de Bézier
En utilisant certaines propriétés des courbes
de Béziers et une interpolation, il est relativement facile de construire
une surface Q(s, t) reposant sur 4 polynômes cubiques Gi(t)
:
Q(s, t)= S . M . G(t) avec S= [s3
s2 s 1] et G(t)= [G1(t)
G2(t) G3(t) G4(t)]T.
Q1. spécifier 4 courbes de contrôle et tracer
la surface de bézier. L'interpolation peut se réaliser de plusieurs
manières (Coons ou produit tensoriel, cf. cours).
remarque : la subdivision récursive
est également possible.
Partie 3. Affichage d'une surface
L'affichage "fil de fer" du dernier TD étant relativement
pauvre, vous pouvez utilisez les fonctionnalités d'openGL pour
associer une matière à votre surface et spécifier également
une source de lumière. Le rendu de la forme de la surface et de son
relief devrait être de bien meilleure qualité, il ne manque
plus que les ombres ...